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Ejercicio 1.7

Un esferoide oblato como la Tierra es obtenido rotando una elipse sobre su eje menor. La superficie del esferoide esta dada por la siguiente fórmula:

\[A(r1, r2) = 2 \pi r^2_1 \left[1 + \frac{1 − e^2}{e} atanh(e)\right],\]
en donde \(r_1\) es el semieje ecuatorial y \(r_2\) es el semieje polar,

con \(r_1 > r_2\), y e es la excentricidad dada por

\[e = \sqrt{1-\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2},\]
Escriba un programa que tenga como valores de entrada \(r_1\) y \(r_2\) y

muestre los valores de \(A(r1, r2)\) y su aproximación:

\[A(r1, r2) \simeq 4\pi \left( \frac{1}{2} (r_1 + r_2) \right)^2.\]

Aplique al programa los datos de la Tierra \((r_1, r_2) = (6378.137, 6356.752)\,km\) y encuentre en qué dígito se encuentra la discrepancia.

Para resolver este ejercicio vamos a hacer un script de python y correrlo como está explicado en la sección Cómo correr un script de python.

Veamos primero cómo hacer los cálculos. Debemos calcular dos valores de la superficie de un esferoide. Un valor es exacto y el otro es aproximado.

Para el valor exacto:

\[A(r1, r2) = 2 \pi r^2_1 \left[1 + \frac{1 − e^2}{e} atanh(e)\right],\]

debemos usar dos cosas que no están disponibles en python al menos que se “llamen” ciertas herramientas: el número \(pi\) y las funciones \(arctan\) y \(sqrt\).

Ambas están en el paquete math. Para que estén disponibles, debemos cargarlas explícitamente:

from math import pi, arctan, sqrt

Como ejercicio, se puede probar usar pi y las funciones antes y despues de cargarlas desde el módulo math.

Recordemos que siempre podemos acceder a la help de python para saber más sobre una función o un objeto cualquiera.

Recordar que hay varias formas de cargar herramientas usando módulos, ir a la sección modules para más información.

Ahora podemos escribir la fórmula exacta y la aproximada:

r1 = 6378.137
r2 = 6356.752
e = sqrt(1 - (r2/r1)**2)
A_exacta = 2*pi * r1**2 * (1-e**2)*e * arctan(e)
A_aprox = 4*pi*(*(r1 + r2))**2

Eso es todo! Ahora vamos a tratar de hacer esto más amigable para un usuario del programa. Las cosas que podríamos hacer son:

  • que pregunte los valores de los radios

  • que muestre en pantalla los valores del área

  • que guarde en un archivo los valores del área

  • que lea de un archivo los valores de los radios

  • que grafique la diferencia entre la formula exacta y la aproximada en función del valor de e